Mémoires de la Société mathématique de France, n° 118. Topological properties of Rauzy fractals

Les fractals de Rauzy apparaissent dans diverses branches des mathématiques telles que la théorie des nombres, les systèmes dynamiques, la combinatoire et la théorie des quasi-cristaux. De nombreuses questions font alors intervenir la structure topologique des fractals. Cette monographie propose une étude systématique des propriétés topologiques des fractals de Rauzy. Les premiers chapitres de ce document rappellent les enjeux mathématiques relatifs aux fractals de Rauzy ainsi que les principaux résultats connus à leur sujet. Sont ensuite discutés des propriétés de pavages, de connexité, d'homéomorphisme à un disque, ainsi que le groupe fondamental de ces ensembles. Les méthodes s'appuient sur des résultats en topologie du plan et sur la construction de graphes pour décrire la structure des pavages associés aux fractals. De nombreux exemples caractéristiques sont présentés. Un chapitre final discute des principales perspectives de recherches liées à cette thématique.

Rauzy fractals play a major role in many branches of mathematics including number theory, dynamical systems, combinatorics and the theory of quasicrystals. In many problems the topological structure of Rauzy fractals is of crucial importance. This monograph contains a systematic study of topological properties of Rauzy fractals. After a thorough survey on basic results on these fractals we aim at collecting known results on the topology of Rauzy fractals an prove a variety of new ones. We investigate tiling properties, connectivity, homeomorphy to a closed disk as well as the fundamental group of of Rauzy fractals. Our main tools are results from plane topology and certain classes of graphs that are defined in terms of tiling properties of Rauzy fractals. We illustrate all our results with many examples.

The monograph ends with a chapter containing perspectives on further research related to this topic.